波动性预测 (GARCH & ARCH)

先决条件

本教程假设您对 StatsForecast 有基本了解。如需最简单的示例，请访问快速入门

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引言

广义自回归条件异方差 (GARCH) 模型用于处理随时间表现出非恒定波动性的时间序列。这里的波动性指的是条件标准差。GARCH(p,q) 模型由下式给出

其中 $v_t$ 是独立同分布的，均值为零，方差为单位方差，且 $\sigma_t$ 根据下式演变

上述方程中的系数必须满足以下条件

1. $w>0$, $\alpha_i \geq 0$ 对于所有 $i$，且 $\beta_j \geq 0$ 对于所有 $j$
2. $\sum_{k=1}^{max(p,q)} \alpha_k + \beta_k < 1$。这里假设 $\alpha_i=0$ 对于 $i>p$ 且 $\beta_j=0$ 对于 $j>q$。

GARCH 模型的一个特例是 ARCH 模型，其中 $q=0$。这两种模型在金融领域常用于模拟股票价格、汇率、利率及其他金融工具的波动性。它们也用于风险管理，以估计金融资产价格大幅波动的概率。

学完本教程后，您将很好地了解如何在StatsForecast中实现 GARCH 或 ARCH 模型，以及如何使用它们分析和预测金融时间序列数据。

大纲

1. 安装库
2. 加载和探索数据
3. 训练模型
4. 执行时间序列交叉验证
5. 评估结果
6. 预测波动性

提示

您可以使用 Colab 交互式地运行此 Notebook

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安装库

我们假设您已经安装了 StatsForecast。如果还没有，请查看此指南了解如何安装 StatsForecast 的说明

使用 pip install statsforecast 安装必要的包

pip install statsforecast -U

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加载和探索数据

在本教程中，我们将使用标普500指数和几家上市公司的近5年价格数据。可以使用yfinance从 Yahoo! Finance 下载数据。要安装它，请使用 pip install yfinance。

# pip install yfinance

我们还需要 pandas 来处理数据帧。

import yfinance as yf
import pandas as pd

tickers = ['SPY', 'MSFT', 'AAPL', 'GOOG', 'AMZN', 'TSLA', 'NVDA', 'META', 'NKE', 'NFLX'] 
df = yf.download(tickers, start = '2018-01-01', end = '2022-12-31', interval='1mo', progress=False) # use monthly prices
df.head()

下载的数据包含不同的价格。我们将使用调整收盘价，这是考虑了股票分割或股息分配等任何公司行为后的收盘价。它也是用于检验历史回报的价格。

注意，yfinance 返回的数据帧具有MultiIndex（多重索引），因此我们需要同时选择调整后的价格和股票代码。

df = df.loc[:, (['Adj Close'], tickers)]
df.columns = df.columns.droplevel() # drop MultiIndex
df = df.reset_index()
df.head()

StatsForecast 的输入是一个长格式的数据帧，包含三列：unique_id、ds 和 y

• unique_id：（字符串、整数或类别）序列的唯一标识符。
• ds：（日期戳或整数）格式为 YYYY-MM-DD 或 YYYY-MM-DD HH:MM:SS 的日期戳，或表示时间的整数索引。
• y：（数值）我们希望预测的度量值。

因此，我们需要重塑数据。我们将通过创建一个名为 price 的新数据帧来完成此操作。

prices = df.melt(id_vars = 'Date')
prices = prices.rename(columns={'Date': 'ds', 'Ticker': 'unique_id', 'value': 'y'})
prices = prices[['unique_id', 'ds', 'y']]
prices

我们可以使用 StatsForecast 类的 plot 方法绘制此序列。

from statsforecast import StatsForecast

StatsForecast.plot(prices)

利用价格数据，我们可以计算标普500指数和上市公司的对数回报率。这是我们感兴趣的变量，因为它可能与 GARCH 框架配合良好。对数回报率由下式给出

$return_t = log \big( \frac{price_t}{price_{t-1}} \big)$

我们将在 price 数据帧上计算回报率，然后创建一个符合 StatsForecast 格式的回报率数据帧。为此，我们需要 numpy。

import numpy as np 
prices['rt'] = prices['y'].div(prices.groupby('unique_id')['y'].shift(1))
prices['rt'] = np.log(prices['rt'])

returns = prices[['unique_id', 'ds', 'rt']]
returns = returns.rename(columns={'rt':'y'})
returns

警告

如果数据的量级非常小（例如 $<1e-5$），scipy.optimize.minimize 可能无法成功终止。在这种情况下，请重新缩放数据，然后生成 GARCH 或 ARCH 模型。

StatsForecast.plot(returns)

从这张图可以看出，回报率似乎适合 GARCH 框架，因为大的冲击往往会伴随着其他的大的冲击。这并不意味着每次大的冲击后我们都应该期待另一次；仅仅意味着大方差的概率大于小方差的概率。

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训练模型

我们首先需要从 statsforecast.models 中导入GARCH和ARCH模型，然后通过实例化一个新的 StatsForecast 对象来拟合它们。请注意，我们将使用不同的 $p$ 和 $q$ 值。在下一节中，我们将使用交叉验证来确定哪个模型产生最准确的结果。我们还将导入Naive模型，因为我们将它用作基准。

from statsforecast.models import (
    GARCH, 
    ARCH, 
    Naive
)

models = [ARCH(1), 
          ARCH(2), 
          GARCH(1,1),
          GARCH(1,2),
          GARCH(2,2),
          GARCH(2,1),
          Naive()
]

要实例化一个新的 StatsForecast 对象，我们需要以下参数

• df：包含训练数据的数据帧。
• models：上一步中定义的模型列表。
• freq：一个字符串，指示数据频率。这里我们将使用 **MS**，对应于月初。您可以在此处查看 panda 可用频率的列表。
• n_jobs：一个整数，指示并行处理中使用的作业数。使用 -1 选择所有核心。

sf = StatsForecast(
    models = models, 
    freq = 'MS',
    n_jobs = -1
)

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执行时间序列交叉验证

时间序列交叉验证是一种评估模型在过去表现的方法。它通过在历史数据上定义一个滑动窗口并预测其后续时期来工作。这里我们将使用 StatsForercast 的 cross-validation 方法来确定标普500指数和所选公司最准确的模型。

此方法接受以下参数

• df：包含训练数据的数据帧。
• h（整数）：表示未来 h 步将要预测的时长。
• step_size（整数）：每个窗口之间的步长，表示您希望多久运行一次预测过程。
• n_windows（整数）：用于交叉验证的窗口数量，表示您希望评估的过去预测过程的数量。

对于本例，我们将使用 4 个窗口，每个窗口为 3 个月，即一年中的所有季度。

cv_df = sf.cross_validation(
    df = returns,
    h = 3,
    step_size = 3,
    n_windows = 4
  )

cv_df 对象是一个包含以下列的数据帧

• unique_id：序列标识符。
• ds：日期戳或时间索引
• cutoff：n_windows 的最后一个日期戳或时间索引。
• y：真实值
• "model"：包含模型名称和拟合值的列。

cv_df.rename(columns = {'y' : 'actual'}, inplace = True)
cv_df.head()

StatsForecast.plot(returns, cv_df.drop(['cutoff', 'actual'], axis=1))

您可以在此处找到关于交叉验证的教程。

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评估结果

为了计算预测的准确性，我们将使用平均绝对误差 (mae)，它是绝对误差的总和除以预测数量。

from utilsforecast.losses import mae

需要为每个窗口计算 MAE，然后对所有窗口的结果取平均。为此，我们将创建以下函数。

models = cv_df.columns.drop(['unique_id', 'ds', 'cutoff', 'actual'])

mae_cv = mae(cv_df, models=models, target_col='actual').set_index('unique_id')
mae_cv

mae_cv.idxmin(axis=1)

unique_id
AAPL    GARCH(2,1)
AMZN    GARCH(2,2)
GOOG         Naive
META         Naive
MSFT    GARCH(1,1)
NFLX       ARCH(1)
NKE        ARCH(2)
NVDA       ARCH(1)
SPY     GARCH(2,2)
TSLA    GARCH(1,1)
dtype: object

因此，描述苹果公司股票对数回报率最准确的模型是 GARCH(2, 1)，对于亚马逊公司的股票是 GARCH(2,2)，依此类推。

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预测波动性

我们现在可以生成下一季度的预测。为此，我们将使用 forecast 方法，该方法需要以下参数

• h：（整数）预测范围。
• level：（浮点数列表）预测区间的置信水平
• fitted：（布尔值 = False）返回样本内预测。

levels = [80, 95] # confidence levels for the prediction intervals 

forecasts = sf.forecast(df=returns, h=3, level=levels)
forecasts.head()

根据上一节的结果，我们可以为标普500指数和所选公司选择最佳模型。部分图表如下所示。请注意，我们在 plot 方法中使用了一些附加参数

• level：（整数列表）预测区间的置信水平（此参数已定义）。
• unique_ids：（字符串、整数或类别列表）要绘制的 ID。
• models：（字符串列表）。要绘制的模型。在此示例中，是交叉验证选择的模型。

StatsForecast.plot(returns, forecasts, max_insample_length=20)

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参考文献

• Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica: Journal of the econometric society, 987-1007.

• Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of econometrics, 31(3), 307-327.

• Hamilton, J. D. (1994). Time series analysis. Princeton university press.

• Tsay, R. S. (2005). Analysis of financial time series. John wiley & sons.